站在高中数学与物理的角度理解学习观以及对 Anki 学习法的启示(费曼技巧与实践)

已收录于 「一周年」专栏整理

本文是我对 YJango 先生的学习观的理解，以及如何用于优化 Anki 学习法。 虽然结论在文末，但是建议看完文章内容，因为结论的描述不是知识，只是信息，看完文章并产生自己的联想，才是学习到了知识。

接下来，我会将 YJango 先生分享的 学习观中的知识替换为数学中的函数(也包括计算机中的函数)，并结合物理公式来阐述我所学到的学习观，以及对我目前使用 Anki 学习的方法加以改进。

以匀速直线运动为例，某物体的速度 ，那么经过不同时间，物体的位移就不同，如果我们测量几个时刻的数据，就会得到下面的结果

理论上，我们可以测量无数次，把每一个时刻的位移都记住，然后在以后遇到同一个速度为 的物体时能够得出任意时刻的位移。但实际上是不可能的，我们无法记住任意时刻对应的位移，我们需要能够解决此类问题的一般性方法，于是就有归纳出位移关于时间的函数。

通过上述问题，我们可以归纳出一个函数 ，这样我们就可以不需要记住任意时刻的位移了！但是，这还不够，这只是 情况下的特例，于是我们又总结出了任意速度下的函数

或许会有人问，我直接记住这个函数不就好了？

好的，假设你记住了这个公式，然后遇到了几道匀速运动的题目

题目一：条件给出速度为 12 米每秒，时间为 9 秒，你傻眼了，没给 怎么算 啊？(别笑，你就真只记住了函数)

题目二：条件 ，你又傻眼了，这符号给的不对了，怎么代入啊？(别笑，你就真只记住了函数)

题目三：条件 ，你兴冲冲的把数值代入了，然后算出来 ，但是你错了，原因是不知道这个函数是匀速直线运动才能使用，函数中的 是匀速。

还有很多例子，你确定你只要记住那个函数就行了吗？因此，老师上课时会结合很多的例子，从而帮助学生将函数内化为大脑内部的连接，而不是仅仅记住函数的表达式。

我再举一个牛顿第二定律的例子。来好好梳理一下函数与知识的类比。

， 既是函数输出的物理量，又是这个函数的函数名，可以理解为物理量是现实问题中输出，函数名就是知识的名称。而 则是函数需要的条件，也就是现实问题中的输入。等式右边的 则是函数的表达式，也就是我们反复阅读、记忆的知识的描述。

同时， 三者本身也是函数，你可能会觉得奇怪，不就是个符号嘛，哪来的输入输出？举个例子， (10千克，20克，80吨)都是 (质量)，而 (10米，20牛，40秒)都不是 。所以， 这个函数限定了什么可以被它输出，什么不可以。所以我也可以把 写成函数的形式：

如果这个输入是质量，就输出质量，否则就什么也不做。这就是知识中的概念名词，或者定义。它的作用就是判断输入是不是某个类型，输出就是是和否。

所以，不论你记住的是 中的任何一个部分，或者是整个函数，你都只是在符号中打转，而书本上的知识，只不过把符号换成了你看的懂的中文罢了。所以记住知识的描述不是学习，就如记住函数表达式不是学习。当然，也有特殊情况，如果考试考察默写公式，那么记住函数表达式反而又是学习了。这里我们就要引伸出一个问题，对于不同的学习任务，什么是正确输入输出？

我们刚才提到的默写考试，正确的输入是函数名，正确的输出是函数表达式，而关于函数名到函数表达式的函数，恐怕是不存在的，所以我们只能记住这些函数表达式才能通过这个考试，这也是应对这个问题的正确学习方法。当然，这里必有一个转折。因为还有一种函数，是可以通过函数来得出的，那就是复合函数！

这里给出一个匀变速直线运动的例子：

可能我们中大多数人都是直接记忆了这个函数，然后直接用，但是这个函数其实并不是基本公式，而是由基本公式联立得出的：

由第一个函数可以得到 ，然后代入第二个函数，即可得到 。也就是说，函数 就是函数 和函数 的复合！看不出来？那我把函数写得再清楚点：

是不是很像高中学过的复合函数？只不过是多元的罢了。

而如何复合，则是关于函数的二阶函数，它们没有函数表达式，从严格意义上来讲，也不是我们高中定义的函数了，而更接近编程中的函数。这个函数的作用，不再像一般的函数那样，输入几个物理量，再输出物理量。它更加抽象，描述的是函数之间的关系，为了得到新函数 ，需要先用已知函数 推出 ，然后复合函数 ，最后整理。

而且，这种函数通常不会直接以文字的形式写出来，而是隐含在例子之中。当然，也有的老师或者教辅会归纳二阶函数，我印象比较深刻的是圆锥曲线的「建设现代化」，即建坐标系、设动点坐标、限制条件、代已知点坐标、化简整理，一下把圆锥曲线轨迹问题的解决方法描述了出来。但是如果我们不通过体会例子，就无法实际运用这个二阶函数。这里的二阶函数对应的就是学习观中的二阶知识。

而且实际上，做题做得很熟练的人，是不会有意识的去想二级函数，而是直接动笔把每个步骤依次写下来。只有当我们教同学做题时，才会拿出这些关于二级函数的描述来引导同学思考。

但是，恰恰是这种二阶函数，能让我们需要掌握的知识量大大减少，但又能解决更多的问题。依然以函数为例，假设我们学的函数有 ,而解决一个问题，从输入到输出的函数是 ，如果你学习的是这个函数(比学过的函数复杂不少)，那么你将需要学成千上万的函数才能解决对应数量的问题，因为每个问题的条件各不相同，需要的输出也不尽相同。然而仔细一看，这个函数中都是我们学过的函数，其中 还重用了两次，我们只要掌握了对于不同的问题，用二阶函数将已有的函数按步骤使用，并相互组合，得出期待的答案，就能用学过的 个函数，组合出超过 个复合函数，解决指数级的问题。

关于学习观中的运动类知识和思考类知识，高中的运动类知识不多，不过我认为用 Anki 记忆大量输入对应输出，已经很接近运动类知识了，听到或者看到问题，答案立刻浮现，甚至脱口而出，这是基于我使用 Anki 的经验。因为使用 Anki ，我平时的训练就是直接从输入到输出(因为 Anki 的双面卡片的复习形式，强迫我看到问题，反应答案)。

当然，学习观并不认为记忆是一种学习，我也承认单单使用 Anki 记忆并不能让我学好。现在回想起自己当时用 Anki 记的东西，有纯粹的概念，比如成语对应的意思；有知识的一般描述，比如公式已经相关的使用条件；还有二阶知识，比如答题的步骤。单纯的从 Anki 记忆的角度来看，我确实没有学习什么东西，但是重要的是我记住了之后发生的事情。我将我记住的知识的描述对应到我遇到的例子上，迅速联想相关例子，并在大脑中建立对应的回路；我将记住的特例填补到平时的学习中，使知识体系更加健壮；而我记住的概念类知识，恰恰正是考试的部分内容。还记得文章开头的三个问题吗？其实大多数人不会犯这些错误，并不是因为我们的理论有问题，而是很多例子就存在于我们的记忆之中，或者说是经验之中。我们看到 ，自然而然的联想起匀速的汽车，在脑子做起了思想实验，然后形成了对应的脑回路。

知识的描述到底有什么用呢？就如函数的表达式有什么用？完全可以越过表达式这一步，直接代入数据，展开计算。但是教科书上总会有表达式，为什么呢？它起到了引导作用。有点像一个清单，提醒我们要做什么，而不会指导我们每项行动的具体操作，防止我们漏过某个特殊的输入与输出，得出错误的知识。当我们把知识的描述记住，就能写下来，然后看着它，激活大脑的回路。

最后，既然学习了一下学习观，还用费曼技巧，站在函数的角度理解知识，我也应该实践一下，用学习观来优化原来的学习方法。

那么，学习观对 Anki 学习法的启示是什么呢？

1. 对于一阶知识(描述输入到输出的规律)，我们要尽可能的细分知识，让知识之间彼此独立，减少我们学习的知识量

2. 每个知识描述，都要附上几个典型的例子(通常的情况、特殊的情况)，在前几次学习时能够帮助我们形成回路

3. 增加二级知识的卡片，以及拆分知识的例子，帮助我们学习分而治之的能力(比如解决圆锥曲线的轨迹问题所需的知识，可以拆分为「建设现代化」这五个知识按照顺序使用)

4. 明确我们应用知识时的输入输出，以此更正学习时的输入输出(比如阅读理解中的长难句，我们的输出不是翻译，而是长难句拆解而成的简单句，因为运动性的理解不需要中文参与)

5. 重视考点识别能力，从条件和问题输出题型，从而得出解题所需要的知识

6. 重视特殊案例，不能盲目依从思维定势

这样看来，其实 Anki 能学的东西非常多，不仅限于生物和化学的各种结论和定式、英语的句意理解和特殊的同根词变换，语文的积累，还有数学与物理的公式及其适用条件，题型对应的分析与答题套路，以及各种易错点，也就是俗称的坑。