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上一章： 07 1990：记忆的通用公式
Thoughts Memo 汉化组译制
原文： 1991: Employing forgetting curves
SuperMemo World 在苦痛中诞生（1991）
1991 年是 SuperMemo 诞生以来最重要的一年。这一年有重大决定，有压力，有大惊小怪、有新发现，更少不了勤勉耕耘。新年伊始，SuperMemo 迎来三个最大的信徒： Biedalak， Murakowski 和 我自己。我们都立足于人生旅途上的同一位置：从大学中无忧无虑的岁月走出来，迎面是独立成年生活的不确定性。我们自然而然都梦想着在美国搞高深的科学。Biedalak 梦想研究人工智能，Murakowski 渴望参透量子物理，而我想破解 分子层面记忆的秘密。现在回想起来，只要有可喜的成绩单，优秀的标准化考试成绩，以及背景厚实的推荐信，来自东欧国家的研究生在美国是相当受欢迎的。然而如果这些研究生要求全额资助，事情就会变得更加复杂。我身无分文。此外，美国人只把孜孜以求的东方人当成尽职的劳工，对他们自己项目的热情和满腔愿景可能不那么受欢迎。我将永远不会知道。三位信徒对 SuperMemo 都有不同的愿景。
1991 年 1 月 3 日，我开始为 SuperMemo 6 实现新的 间隔重复算法。在这同一天，Murakowski 前往伦敦，在那里他将追求他的教育梦想，同时试图销售 SuperMemo 2。他不会通过分销渠道或在商店里销售。他只是挨家挨户地解释程序的优点，好的话能拿到一些钱，不至于丧失信心。
在此期间，我和 Biedalak 定时约着去慢跑 10 公里和冬泳，并在回家的路上一起 头脑风暴（我们称之为走谈）。我们主要谈到在美国的学习生涯和如何销售 SuperMemo。在讨论中，开一家 我们自己的公司的想法屡屡冒出来，而且愈发频繁。
我开始研发新的 间隔重复算法，脑子里有一些想法将永远改变 SuperMemo. SuperMemo 6 中使用的 SM-6 算法 是一大突破，这一算法将在之后的 25 年里继续推动软件发展。SM-6 算法将重新采用在 1985 中引导 间隔重复发现的简单实验程序，但现在能够自动运行这一实验，收集评分数据，选择最优复习时机：算法将绘制用户的 遗忘曲线。这也意味着，用户将能够决定每一个项目可接受的 遗忘概率（即保留率-工作量的最优权衡）。
当时，我仍然受限于 360 kB 的软盘（ 5.25 英寸软盘）。因此，SuperMemo 仍然无法保存所有的重复历史，无法大规模地完全复制 1985 年的方法。然而，在 1990 年 1 月 6 日，我冒出一个简单的想法：我可以只针对不同 难度和 稳定性类别下的 项目收集 遗忘曲线数据。我无需维护完整记录，只需要计算即在给定的时间（即在给定的 可提取性水平上），在一个给定的类别中，有多少项目 留存在记忆中，即可实现类似效果。这个想法作为 SuperMemo 的核心延续至今。即使今天有了重复历史的完整记录，SuperMemo 仍然可以立即知道某个类别中的项目的预期 可提取性。
我不断学习，在自由与不确定性交织的氛围中，为 SuperMemo 研究新想法。对我来说，不确定性是能量的源泉。然而，1991 年 2 月 12 日，我得知我母亲确诊为癌症晚期。在自由和不确定性的混合中，这个噩耗平添了一股沉郁气氛。对我来说，沉郁气氛也可以是能量的圆圈。我把学习的时间增加到三倍，全心全意研究癌症，希望能自己找出一些神奇的疗法。看来不合理的乐观主义对生产力有积极影响。它还表明，疯狂的乐观主义可以帮助度过困难时期。通过努力工作，我可以驱散阴霾。高生产力肯定是抗抑郁剂。我的努力工作没有给负面的想法留下空间。我有信心，我会治好我妈妈的病！
顺便说一下，我妈妈确诊的时候，我正在写一个程序来模拟记忆在应对环境时的最优行为。这个程序要从数学上证明 记忆的双组分模型是最适合记忆存续的。我一得知妈妈的诊断结果，便把这项工作从我的日程表中扔掉，转去学习癌症知识。我一直没能完成这个程序，这个想法因其他项目而处于不闻不问的境地。
1991 年 3 月 6 日，在我们与 Biedalak 的一次慢跑兼头脑风暴中，有人抛出了 SuperMemo World 这个名字。当时我们无从得知，四个月后，SuperMemo World 将成为我们公司的名字，这家公司至今已成立 27 年。
1991 年 5 月 2 日，我在 SuperMemo 6 中实现了设置目标 遗忘指数的选项。1991 年 7 月 5 日， SuperMemo World 诞生了。公司最初的投资之一是一台带有硬盘的个人电脑，我得以摆脱使用软盘时的缓慢速度。
1991 年 11 月 23 日：SuperMemo 被宣布为欧洲软件竞赛的最终胜出者。这个好消息拯救了 SuperMemo World，也是 间隔重复的良好开端。
商业化 SuperMemo 的缓慢启动
1991 年 7 月 5 日，当我们与 Krzysztof Biedalak 建立 SuperMemo World 时，未来看起来如此光明，以至于我们需要买墨镜。地球上有很多高智商的人，他们都需要学习。全人类都是我们的市场。唯一的问题是，如何让所有这些聪明人相信，两个在铁幕后受教育的穷学生能为他们提供什么价值。我们不可能用互联网来做这项工作。 SuperMemo 比互联网还要古老。由于缺乏资金，我们承担不起广告费用。1991 年的波兰没有风险投资文化。我们能做的就是把最初的几份 SuperMemo 放在文件夹里，然后把它们放在附近的计算机商店的货架上。由于我们的目标是征服全球，我们甚至没做波兰语手册。我们没能做出第一笔买卖。夏天漫长而沉寂，我们心中疑虑悄悄蔓延。
图：1991 年， 我们将 DOS 版 SuperMemo 5 的第一批拷贝装在粉红色的文件夹中，贴好贴纸，送到波兹南（波兰）的商店。软件所附的手册没有波兰语翻译。令人惊讶的是，竟有一些买家光顾 我们。 1991 年 9 月 9 日至 11 日之间，在 Axe Prim 电脑店，第一笔买卖做成了，可惜该店已不复存在（图片是根据原始文件夹和贴纸重建的）
为什么第一份软件很难卖出去？我可以从我们最早的一个客户的话语中重构这个场景，他真的去了一家商店，看了看公开展示的第一份 SuperMemo。在摆放计算机程序的架子上，与微软公司的闪亮盒子一起，他注意到一个破旧的文件夹，上面写着诱人的文字：「你的突破性快速学习软件」。他拿起文件夹，打开了一本手册，不仅是质量糟糕的复印件，而且是英语。他读到了一个用高高在上的言辞写就的令人难以置信的故事。故事简直是好得天方夜谭：“学习更快”、“知识保留极佳”、“新的科学方法” 以及 “少许耗时” 等等。他没想买下来，整套软件相当昂贵（大约 100 美元，在 1991 年的波兰可是个大数目），然而，他找到了销售人员，想知道 SuperMemo 背后的人是谁。店主对 SuperMemo 相当了解，并解释说。这个故事开始显得很可信。这位顾客一直没有忘记这段插曲。几个月后，他从当地的一些杂志上听说了 SuperMemo，并成为第一批付费客户。他的注册索取券在 1992 年 1 月到达，他的升级历史表明，他用 SuperMemo 用了几十年，现在他的儿子也是常客之一。
然而，在 1991 年夏天，我们一份也没有卖出去。到了秋天，除了我自己之外，每个人都疑虑重重。不是对 SuperMemo，而是对这桩生意的可行性。
知道我们是如何认识的应该会有帮助。与 Biedalak 一起，我是永远的朋友。我和他的兄弟在一个学校上学，我们相距 200 米，并且在 波兹南科技大学通过了同一年的计算机科学考试。我不能说我是如何说服 Biedalak 相信 SuperMemo 很不错的。我们只是太亲密了，他一直都在我的朋友圈里。这一部分很容易。 Tomek Kuehn 是 SuperMemo 的第一批伟大信徒之一。他也是伟大的程序员，更是伟大的激励者。他一下子就理解了 SuperMemo 的想法。他自己写了两个版本的 SuperMemo：1988 年用于 Atari 800，1989 年用于 Atari ST。1989 年 1 月，他甚至利用一份计算机杂志（Komputer）上的广告卖出了 10 份 SuperMemo 2。我猜想，他没有收回投资的钱，否则他肯定会再次尝试这种伎俩。毕业后，库恩已经有了自己的生意：一家电脑店。这家商店也是最早向客户介绍 SuperMemo 的商店之一。他的伙伴和朋友是 Marczello Georgiew，他也不需要太多的说服力。Georgiew 加入了这个团队。最后，在 1990 年布达佩斯的 GRE 考试中，我遇到了 Janusz Murakowski。他有极佳的数学禀赋，也可能是有史以来最快皈依 SuperMemo 的人。在我们回波兰的火车上，我提到了 SuperMemo。他一下子就被吸引住了。几天后，他已经是 SuperMemo 2 的热心用户（截至 1990 年 6 月 13 日）。在我们公司的说唱歌中，我们唱着「我们是卖 SuperMemo 的人」。要说服人们相信 SuperMemo 能有效果是非常困难的，但团队里的人一直都很热情。
到 1991 年 11 月，人们的热情开始消退。如果我们继续无功而返，我们将逐渐失去与他们的参与和热情成正比的团队。再过几个月，公司可能就要死了。SuperMemo 不会死。我肯定会寻找一个买家，或者以某种方式继续下去。我和这个产品联系得太紧密了。我自己使用它，我所有的知识都投入到我的数据库中。我可能会考虑回到在美国读博士的想法。就像1989年我能够在荷兰的大学里把工作和「下班后」的编程结合起来一样，我可能会继续下去，直到取得一些突破，比如说在网络上。也许这将是一个开放源码的产品？幸运的是，生物聚合物生物化学系的 Wojciech Makalowski 博士建议我们将 SuperMemo 提交给欧洲软件竞赛。由于奇迹般的好运气，我们获得了决赛资格，这立即被波兰媒体，特别是计算机期刊所关注。从那时起，SuperMemo 在波兰媒体中的地位越来越高，越来越吸引人。 Andrzej Horodenski 是 第一个写关于 SuperMemo 的记者(Computer World 1992)。 Pawel Wimmer 是第二个。Wimmer 直到今天仍然是忠实的，他实际上使用了 SuperMemo 2，他可能是在 1989 年在 KOMPUTER 杂志上做广告时从 Tomasz Kuehn 那里得到的。
在成立 1.5 年后， SuperMemo World 终于实现了盈利。还不错。
SuperMemo World 从一开始就是一个奇妙的组合。1991 年，我们在波兰没有风险资本注入资金，所以我们不得不卖起听着像「蛇油」的东西来自力更生。我们如履薄冰，但还是仰仗着激情，信念，以及鸿运当头活了下来。
SM-6 算法的起源
SM-6 算法首次用于 SuperMemo 6（1991），然而，它在 SuperMemo 7（1992）中仍然继续发展。尽管在 Windows 版本中对算法多有修改，但从来没有 SM-7 版本的算法出世。最值得注意的是，从 1994 年起，在 Windows 版 SuperMemo 7 中使用了指数函数来近似 遗忘曲线。 OF 矩阵的近似也逐步得到了改进。
图：Windows 版 SuperMemo 7 是在 1992 年编写的。截至 1992 年 9 月 3 日，它能够显示用户的 遗忘曲线图。标有 U-系数的横轴与这个特定图表中的天数相对应。第 14 天和第 20 天之间的奇怪弯曲是很难确定遗忘性质的原因之一。旧的错误假设很难被推翻。直到第 13 天，遗忘似乎几乎是线性的，也可能提供一个良好的指数拟合。我们又花了两年的时间收集数据，最终才找到答案（来源：《SuperMemo 7：用户指南》）
图：用指数函数近似的 遗忘曲线，在 Windows 版 SuperMemo 7（1994）上显示。竖轴代表 回忆的百分比。横轴用 U-系数 表示时间。该曲线使用 21,000 个重复案例绘制，看起来终于有了规律，足以对遗忘的根本原因作出假设
SM-6 算法有项新功能最为重要，那就是收集遗忘率的数据。有了 遗忘曲线，准确地计算 最优间隔就很容易了。SM-5 算法中又缓慢又不准确的 bang-bang 方法便告一段落：
存档警告： 为什么使用文字档案？
在 SM-5 算法 中，确定最优系数矩阵中某项元素的值的过程如下（见上）：
- 将初始值设定为以前实验中计算的平均最优系数值（OF）
- 如果目标元素产生的评分（1）大于期望值，则增加 OF，（2）小于期望值则减少 OF，或（3）等于期望值则不改变 OF
上述方法表明，只有经过大量重复，最优系数才能收敛到最优值，最糟糕的是，对于越往后发生的重复，修改—验证的周期（即从改变 OF 矩阵某项的值，到根据这个值计算出下个间隔，由此安排下次重复并由此验证改变的合理性所需的时间）就越长。
介绍遗忘指数的概念
SM-6 算法的新颖之处在于，对最优系数矩阵中给定项对应的 遗忘曲线的斜率进行近似，并直接从近似的曲线中计算出新的最优系数的值。换句话说，由于建立了遗忘曲线和最优重复间隔之间的确定性关系，在算法 SM-6 中不需要修改—验证循环。最优系数的修改是在重复后立即发生的，在近似于从包括最近的反馈中提供的评分数据中得出的新遗忘曲线。这种修改不仅使确定最优系数矩阵的最优值的过程大大加快，而且还提供了一种手段来建立在学习过程中将要达到的知识 保留的理想水平（见一个示范性的 遗忘曲线）。
理想的知识 保留水平可由 重复中 项目里被遗忘的比例得出。这个比例被称为 遗忘指数（项目有记住或遗忘之分，依据学生在自我评估其进展时提供的 评分 区别）。
图：由 SuperMemo 8 绘制的重复过程中的示范性 遗忘曲线（记录了超过 40,000 个重复案例）。 R-系数表明，指数回归指向 7.146 天的最优间隔。然后通过 OF 矩阵将其平滑到 6.176 天。 SuperMemo 在这种情况下会为首个间隔取 6 天的值（如果忽略随机散布）
在上图中，时间的推移用 间隔来表示，单位是天。纵轴表示以百分比表示的知识 保留率。位于 90% 保留率的水平线决定了所要求的 遗忘指数，即在重复时项目应该被遗忘的理想比例。然后，最优间隔将自然地出现在所要求的遗忘指数线与 遗忘曲线的交叉点上。在上面的例子中， 最优间隔等于七天。所提出的遗忘曲线是在 40489 个记录的重复案例的基础上绘制的。关于 R-因子(RF)、 O-因子(OF)等数值的解释，请见后面的文字。
直接从 遗忘曲线中计算出的最优系数矩阵是高度不规则的，所以在 SM-6 算法中， 间隔重复中使用的矩阵，是将保留系数矩阵（ RF 矩阵）平滑后的产物，它是直接从与 OF 矩阵 的特定项对应的遗忘曲线得出的。换句话说，遗忘曲线决定了 RF 矩阵中各项元素的取值，但只有将这个矩阵平滑处理，得到 OF 矩阵，才可以用于计算最优间隔
算法 SM-6
下面的算法描述来自我的 博士论文，并作了一些澄清，指的是 1994 年的现状：
存档警告： 为什么使用文字档案？
- 学到的知识被分割成尽可能小的片段，称为项目
- 项目制定为问题-答案的形式
- 项目是通过自定进度的 drop-out 技术来记忆的，即花时间思考某一问题，直到给出所有正确答案为止
- 从记住一个项目到第一次重复的间隔，对于所有项目都相同。这个间隔是由期望的知识保留水平决定的，这个水平又可以转换为间隔（ Wozniak 1994a），只需使用平均 遗忘曲线，这一曲线是从普通学生的平均值数据库中提取的。期望的保留率是通过 遗忘指数来指定的，这一保留率与重复时遗忘的项目比例相对应（学习如何从遗忘指数计算保留率，反之亦然）。请注意，为了加快优化过程，首次间隔可能会随机缩短或延长（间隔长短不一可以提高遗忘曲线的近似精度）。
- 首个间隔是按照普通学生和普通数据库的预设计算的。然而，一旦遗忘指数的记录值偏离了目标水平，首个间隔的长度就会相应地被修改，其新值来自重复过程中绘制的负指数遗忘曲线的近似。重复评分越多，曲线就会越精确，最优重复间隔的值就会稳定下来，确保目标知识保留率达到指定水平。每次重复后，学生会给出评分，由此可以得知学生是否能准确而轻松地复现正确答案。
- 项目按照评分划分成不同的难度类别。它们的难度在每次连续的重复中被重新估计。每个项目的难度由前面提到的 E-系数（E 代表「容易」(easiness)）来描述。对于刚开始学习的所有项目，E-系数都等于 2.5，在随后的重复中会有所修改。例如，评分高于 4, E-系数会增加少许（评分高表明项目容易），而分低于 4 时 E-系数会降低。，以前，E-系数还用来计算，对于某一难度的项目，随着连续重复学习，其间隔长度应该增加多少倍。目前，E-系数只作为最优系数和保留系数矩阵的索引，与实际的间隔增加没有什么关系。
- 项目难度不同，最优间隔也不同
- 项目重复次数不同，间隔也不同
- 为了达到由遗忘指数所决定的期望知识保留率，最优间隔的函数处于不断修正之中。换句话说，该算法将检测学生应对重复的能力，并相应地调整重复间隔的长度。
- 最优间隔的函数表示为最优系数矩阵，简称 OF 矩阵，定义如下：
for n=1: I(n,EF)=OF(n,EF)
for n>1: I(n,EF)=I(n-1,EF)*OF(n,EF)
其中：
- I(n,EF) - 难度 EF 对应的第 n 个间隔
- OF(n,EF) - 第 n 次重复、难度 EF 对应的最优系数
- 最优系数矩阵是通过平滑保留系数矩阵（简称 RF 矩阵）得出的。保留系数矩阵的定义与 最优系数矩阵相同。
- 保留系数矩阵的元素被用于估计最优系数矩阵的元素值。每个最优系数对应于一个最优间隔，该间隔在重复时产生所需的保留率（由目标遗忘指数决定）。保留系数矩阵的每个元素都对应于 E-系数和重复次数的不同值
- 保留系数矩阵的元素，称为 R-系数，是由 遗忘曲线计算出来的，其形状是根据重复的历史绘制的
- 遗忘曲线图上的时间推移是由 U-系数来衡量的，即当前间隔和前一间隔的比率，不过第一次重复的 U-系数与第一个间隔相等，单位为天（如 图）。重复记录使得计算不同 U-系数下的保留率成为可能。保留率与时间推移（U-系数）的关系图代表了一条遗忘曲线。遗忘曲线与所需的保留水平的横截距决定了最优的 R-系数，在对保留系数矩阵进行平滑处理后，可以得到最优的 O-系数
- 每个难度类别和重复次数都有自己的重复记录，用来绘制单独的遗忘曲线。换句话说，项目难度不同，重复次数不同，间隔都有所不同。
- 在学习中使用的间隔取值，包括第一个间隔，都落在最优值的附近，这么做是为了更准确地绘制遗忘曲线，从而提升程序的收敛率。间隔略微分散开来的话，遗忘曲线的近似将使用图形上更分散的点集
下一章： 09 1994：遗忘的指数性质